戸籍変更、改名の届けは、家庭裁判所になります。
ご自身の管轄により若干違うこともありますので、直接家庭裁判所に聞いてください。

性別変更、改名の取り扱いに関して、ダウンロードできる書類、記載例などもあります。(裁判所のHPに飛びます)
性別変更の取り扱いについての説明
提出する診断書は一般的なものでなく、戸籍変更用の診断書になります。
名の変更について
提出診断書は、一般的なもので「性同一性障害」です、という1枚の診断書です。
できるだけ、診断書の原本は手元に残しておき、原本とコピーを照合してもらえれば、提出用はコピーで構いません。
※原本を提出してしまうと、その後に何かで必要なときまた診断書発行にまたお金がかかってしまいます。